Теория хаоса, что изменилось за 60 лет?

О чем речь

“Начиная с 1970-х годов некоторые исследователи в США и Европе начинают изучать хаотические явления. Математики, физики, биологи, химики ищут связи между различными типами беспорядочного в природе.” История зарождения новых принципов моделирования, описания и понимания давно известных явлений. О том, как простые системы дают начало сложному поведению, увлекательно описано в книге Джеймса Глейка “Хаос. Создание новой науки”.

Открытые закономерности и методы анализа дали новое понимание в областях: от моделирования погоды или численности популяций растений и животных, до ценовых колебаний на фондовом рынке. Именно это нас и интересует! Проверим, что изменилось за прошедшие 60 лет! Или ничего? С тех времен, когда первые компьютеры были размером с лабораторию, а заявки записывались чернилами в толстой бухгалтерской книге.



Нормальное распределение

Глава 4 начинается с козырей. В далеком 1960 году была построена кривая распределения ценовых движений хлопка за последние 60 лет. И неожиданно она не соответствовала кривой нормального распределения. Чего, более чем, можно было бы ожидать.

“Стандартной моделью указанных вариаций всегда являлась колоколообразная кривая: вблизи ее максимума значения измеряемой величины стремятся к некоторому среднему, а слева и справа от вершины плавно спадают. Эта кривая, называемая функцией Гаусса или функцией нормального распределения отклонений. Она проясняет природу случайности. Дело в том, что при изменении параметров любых объектов, изучаемых науками о природе и обществе, измеряемые значения с большей вероятностью стремятся к некоторой средней величине, удаление от которой происходит медленно и плавно… Построенный Хаутхаккером график никак не желал принимать форму функции нормального распределения. Вместо этого кривая ценовых изменений приобретала очертания, которые Мандельбро начал распознавать в графиках удивительно далеких, несопоставимых друг с другом явлений.”





Рис1. Красная кривая – распределение движений фьючерса РТС

Синяя кривая – нормальное распределение.

“Экономисты всегда считали, что цены на хлопок варьируются как предсказуемым, так и совершенно случайным образом. Долгое время уровень их определялся реальными событиями в экономике: подъемами и спадами в легкой промышленности Новой Англии, освоением новых зарубежных рынков. Краткосрочные колебания носили в той или иной степени случайный характер. Данные Хаутхаккера противоречили его ожиданиям: наблюдалось слишком много больших скачков. Конечно, в большинстве своем ценовые изменения были незначительными, однако соотношение между большими и малыми скачками оказалось не столь высоким, как ожидал профессор.”

Это и ожидаемо и удивительно одновременно. Ведь именно это мы видим на графике распределения ценовых движений для фьючерса на индекс РТС. Законы, которые отклоняли статистику цен на хлопок с 1900 до 1960 годов, продолжают работать в 21 веке!



Фрактал

“И действительно, когда Мандельбро на компьютере проанализировал информацию об изменении цен на хлопок, ожидаемые им потрясающие результаты не заставили себя ждать. Точки, которые не желали ложиться на кривую нормального распределения, обнаруживали странную симметрию, иначе говоря, каждый отдельно взятый скачок цены был случайным и непредсказуемым, однако последовательность таких изменений не зависела от масштаба. Кривые, изображавшие дневные скачки, и те, что воспроизводили месячную динамику, прекрасно соответствовали друг другу. Неужели степень вариативности за неспокойные шестьдесят лет, на которые выпало две мировые войны и Великая депрессия, осталась неизменной? Невероятно…

Внутри самых, казалось бы, хаотичных нагромождений информации скрывался поразительный порядок.”

Повторение свойств, характеристик или закономерностей не зависимо от масштаба, иначе говоря самоподобие, позже назовут фракталом. Для проверки этих наблюдений построены графики, так или иначе характеризующие геометрию движения цены. Для разных временных интервалов, от 5 до 30 минут. Поскольку стратегия среднесрочная, более продолжительные интервалы не рассматривались.

Графики построены для фьючерса на индекс РТС, с 2010 по 2023 г. В первую очередь интересует не изменение год к году, а изменения между разными временными интервалами.



Тело и тень свечек



Рис1 вся свечка в пунктах.

Рис2 отношение всей свечки к ее телу в процентах. Средние значения.

Отношение выше 60% для 5 минутных интервалов, плавно падает и стабилизируется на уровне 50%.



Размах свечки относительно движения



Рис1 движение за последние 15 интервалов.

Рис2 отношение всей свечки к текущему движению в процентах. Средние значения.

Ни какой принципиальной разницы на всех интервалах нет.



Отношение размаха на разных периодах



Рис1 Модуль размаха цены на единичном интервале. Средние значения.

Рис2 Модуль размаха цены на 25 последних интервалах. Средние значения.

Рис3 Отношение размахов в процентах. Средние значения.

С увеличением интервала, значения ожидаемо растут. Два первых графика поднимаются вверх.

Разброс значений уменьшается, но средние значения остаются неизменными. (синяя кривая на Рис3).



Перекрытие



Рис1 Процентное соотношение, насколько текущая свечка перекрывает предыдущую. Средние значения.

Отрицательные значения – гэпы.

Средние значения довольно стабильны. (синяя кривая на Рис1).



Итого:

Ликвидность рынка, скорость выполнения транзакции, количество участников, доступность информации для игроков, глобальность рынка на время и континенты… все это возросло на порядки с 60х годов прошлого века. И тем не менее нормальное распределение по прежнему является лишь идеалом, а реальная цена отклоняется от него вездесущим хаосом.

Самоподобие движения цены достаточно наглядно. Только отношение тела свечки ко всей свечке плавно дрейфует на малых интервалах. Остальные зависимости весьма стабильны. А значит, фрактальное свойство цены сохраняется спустя 60 лет после обнаружения.

Если взглянуть на правую сторону графиков, видно начало СВО и все санкции и мобилизацию. Резкое и сильное изменение ценовых движений. Но если посмотреть на весь график целиком, будет виден и откат от 2008, и митинги «белоленточников», и выборы, и нестабильность арабской весны, и возвращение Крыма, и КОВИД и локдаун… Сколько уже пережито и сколько всего еще будет!!! Точно можно сказать, что законы статистики и хаоса по прежнему будут с нами.